问题: 均值不等式问题 急!急!急!急!急!急!急!急!急!急!
已知A,B＞0,且A+B=1,求证:(A+1／A)∧2+(B+1／B)∧2≥25／2.
解答:
证：因为a+b=1(a,b>0)可以令a=(cost)^2,b=(sint)^2
左边=(a^2+2+1/a^2)+(b^2+2+1/b^2)
=(a^2+b^2)+(1/a^2+1/b^2)+4
>=2ab+2/(ab)+4
在此实行代换：
2ab+2/(ab)+4
=2(costsint)^2+2/(costsint)^2+4
=(1/2)(sin2t)^2+8/(sin2t)^2+4
因为|sin2t|^2=<1,8/|sin2t|^2>=8,
根据“对勾函数”y=x+a/x(a>0)的性质，在x>√a时递增，所以在|sin2t|=1时,|sin2t|^2/2+8/(sin2t)^2有最小值1/2+8=17/2.
因而，左边>=17/2+4=25/2.
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