问题: 已知-1<=x<=1,n>=2且n是非负整数,求证:(1-x)^n+(1+x)^n小于等于2^n
解答:
可设0≤x≤1.
(1-x)^n+(1+x)^n=
=(1-x)^n+(1+x)^n-(1-x)^(n-1)-(1+x)^(n-1)+
+(1-x)^(n-1)+(1+x)^(n-1)=
=[(1-x)^n-(1-x)^(n-1)]+[(1+x)^n-(1+x)^(n-1)]+
+(1-x)^(n-1)+(1+x)^(n-1)=
=x[(1+x)^(n-1)-(1-x)^(n-1)]+(1-x)^(n-1)+(1+x)^(n-1)≤
≤[(1+x)^(n-1)-(1-x)^(n-1)]+(1-x)^(n-1)+(1+x)^(n-1)=
=2(1+x)^(n-1)≤2^n
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