问题: 三角函数
求所有满足sin(sina+a)=cos(cosa-a)的锐角a
解答:
由于sin(sina+a)=cos(π/2-sina-a)=cos(cosa-a).
则原方程等价于：
2kπ+π/2-sina-a=cosa-a,k∈Z...①
2kπ+π/2-sina-a=a-cosa,k∈Z...②
由①得 sina+cosa=2kπ+π/2..
因为|sina+cosa|≤√2<π/2≤|2kπ+π/2|,
所以方程sina+cosa=2kπ+π/2无解.
由②得2a+sina-cosa=2kπ+π/2.
因为f(x)=2x+sinx-cosx在x∈[0,π/2]上为单调递增函数.
由-1=f(0)≤f(x)≤f(π/2)=π+1,知等式2a+sina-cosa=2kπ+π/2只有k=0 且 a=π/4时才成立.
综上,所求锐角为a=π/4.
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