问题: 求高手给个n项均值定理的证明
将均值定理推广到n项后得到：
(a1+a2+a3+……+an)/n>=n次√(a1*a2*……*an)
解答:
数学归纳法.
1.显然
[(a1+a2)/2]^2≥a1*a2
2.设命题对于n=k(k≥2)时成立.
设任意a1,a2,a3,……,a(k+1)个非负数(不全为0).
设 t=(k+1)/(a1+a2+a3+……+a(k+1))
bi=t*ai
==>
(b1+b2+b3+……+b(k+1))/(k+1)=1
==>
有两个数,如:b1,b2使:
(1-b1)(1-b2)≥0
==>b1*b2≤b1+b2-1
==>(归纳法的假设)
b1*b2*..*b(k+1)≤{[b1*b2+b3+..+b(k+1)]/k}^k≤
≤{[b1+b2-1+b3+..+b(k+1)]/k}^k=1
==>
a1*a2*..*a(k+1)≤(1/t)^(k+1)=
=[(a1+a2+a3+……+a(k+1))/(k+1)]^(k+1)
所以n=k+1命题成立.
因此命题对于任意n都成立.
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