问题: 数学问题
已知F1,F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点,P为左支上的任意一点,若PF2^2/PF1的最小值为8a,则双曲线离心率e的取值范围为什么是(1,3]?
解答:
|PF2|-|PF1|=2a
|PF2|=2a+|PF1|
|PF2|^2=(2a+|PF1|)^2
=4a^2+4a|PF1|+|PF1|^2
所以|PF2|^2/|PF1|
=4a^2/|PF1|+4a+|PF1|
=(4a^2/|PF1|+|PF1|)+4a
>=2√(4a^2/|PF1|*|PF1|)+4a =8a
这个等号当4a^2/|PF1|=|PF1|时成立
即|PF1|^2=4a^2
|PF1|=2a
显然当P在Q(-a,0)点时|PF1|有最小值
|QF1|<=2a即可找到P满足|PF1|=2a
|QF1|=c-a<=2a
所以c<=3a
===>e的取值范围为什么是(1,3]
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