在△ABC中,已知AD⊥BC,BE⊥CA,AD与BE相交于H,P为AB的中点,过C作CQ⊥PH,垂足为Q,求证:PE的平方=PH*PQ

∵PE=1/2AB=PD，
要证明PE2=PH*PQ，
只须证明PD^2=PH*PQ，
只须 证明△PDH～△PQD，
∵∠DPH=∠QPD,
所以只须 证明∠DQP=∠PDH，
∠PDH=∠PAD=∠HED，只须证明
∠HED=∠HQD，只须 证明
Q，D，H，E四点共圆
证明：
连结PE，PD，
易知PE=1/2AB=PD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠PDH（A）=∠PAD，
AD⊥BC,BE⊥CA，∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴A，E，D，B四点共圆，
∴∠BED=∠DAB，
易知C，D，H，E四点共圆，
又CQ⊥PH，∴∠CQH=∠CEH=90°，
∴C，Q，H，E四点共圆，
∴Q，D都在三点C，H，E所确定的圆上，
（不在一直线上的三点确定一个圆）
即C，Q，D，H，E五点在同一个圆上，
∴∠DQH（P）=∠DEH（B），
∴∠PDH=∠PQD，
∴△PDH～△PQD，
∴PH/PD=PD/PQ，
∴PD^2=PH*PQ，
∴PE^2=PH*PQ