问题: 数学
用反证法证明当0<a<1,0<b<1,0<c<1时(1-a)b,(1-b)c(1-c)a不能都大于1/4
解答:
假设(1-a)b>1/4,(1-b)c>1/4,(1-c)a>1/4.
因为a,b,c都是小于1的正数,所以
√[b(1-a)]>1/2,√[c(1-b)]>1/2,√[a(1-c)]>1/2.
从而有√[b(1-a)]>1/2+√[c(1-b)]>1/2+√[a(1-c)]>3/2
但是
√[b(1-a)]+√[c(1-b)]+√[a(1-c)]
≤(1-a+b)/2+(1-b+c)/2+(1-c+a)/2
=[3-(a+b+c)+(a+b+c)]/2
=3/2.
与上式矛盾,所以原命题正确.
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