适当排列三个实数10a^2+81a+207,a+2,26-2a,使他们取常用对数后构成公差为1的等差数列,求a的值.

设x=10a²+81a+207,y=a+2,z=26-2a.
首先,由x>0,y>0,z>0,知-2<a<13.
其次,判断x,y,z的大小关系.
由于x-y=10a²+80a+205,其判别式恒小于0,因此x-y>0,即x>y；
同样,x-z=10a²+83a+181的判别式也恒小于0,故x>z.此外,y-z=3(a-8),
因当a=8时,y=z 不合题意,所以分-2<a<8和8<a<13两种情况讨论.
(1)当-2<a<8.
此时y<z,lgy,lgz,lgx构成公差为1的等差数列,所以lgx-lgz=lgz-lgy=1.
得x=10z,z=10y 10a²+81a+207=10(26-2a) 26-2a=10(a+2).
解得a=1/2∈(-2,8).
(2)8<a<13.
此时y>z,仿(1)做法,知无解.因此只有a=1/2合乎题意.