问题: 急求详细过程
己知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=2/3与x=1时都取得极值,(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间.(2)若对x属于[-1,2],不等式f(x)<c^2恒成立求c的范围.
解答:
昨天刚答过
(1)显然在x=2/3取极大值,在x=1取极小值.
求导:f'(x)=3x²+2ax+b
根据题意知f'(2/3)=4+4a/3+b=0 f'(1)=3+2a+b=0
解得a=3/2,b=6.
所以f'(x)=3x²+3x+6,
因为f'(x)开口向上所以当x∈(-∞,2/3)∪(1,+∞)时函数f(x)单调递增.
当x∈(2/3,1)时函数单调递减.
(2)当x∈[-1,1)时函数f(x)递减,当x∈(1,2]时函数f(x)递增.
所以在x=2时取最大值f(2/3)=134/27+c,在x=1时取最小值f(1)=17/2+c
所以不等式f(x)<c²等价于c²>134/27+c--->c²-c-134/27>0
解得c>[1+√(563/27)]/2 或 c<[1-√(563/27)]/2
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