问题: 数学习题
已知a,b是锐角，a+b不等于pi/2且满足3sinb=sin(2a+b)
(1)求证：tan(a+b)=2tana
(2)求证：tanb<=根号2/4,并求等号成立时tana,tanb的值.
解答:
1)因为3sinb=sin(2a+b),
所以3sin[(a+b)-a]=sin[a+(a+b)],即
3sin(a+b)cosa-3cos(a+b)sina=sinacos(a+b)+cosasin(a+b).
=sinacos(a+b)+cosasin(a+b).所以sin(a+b)cosa
所以tan(a+b)=2tana
2)因为tanb=tan[(a+b)-a]=[tan(a+b)-tana]/[1+tan(a+b)tana]=tana/(1+2tan²a)
=1/(1/tana+2tana),又因为a,b为锐角,所以tana>0.所以
tanb=1/(1/tana+2tana) ≤1/2√2=√2/4.
当且仅当1/tana=2tana,即tana=√2/2时取等号,此时tanb=√2/4.
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