问题: 设二面角α-l-β的平面角为θ,AB属于α,CD属于α.AB∩CD={O},且AB⊥CD,AB,CD
与平面β所成的角分别为θ1,θ2,求证:当θ是锐角时, sin^2θ1+sin^2θ2=sin^2θ
解答:
过O点做β的垂线,设垂线段长为h.
设AB交l于E,CD交l于F,
过O在α内做OH垂直于l
所以sin^2θ1=h^2/OE^2,sin^2θ2=h^2/OF^2,sin^2θ=h^2/OH^2
所以要证sin^2θ1+sin^2θ2=sin^2θ即证1/OE^2+1/OF^2=1/OH^2
在三角形EOF中,由摄影定理得:
OE^2=EF*EH,OF^2=EF*EH,OH^2=EH*FH
所以1/OE^2+1/OF^2=1/OH^2得证
所以sin^2θ1+sin^2θ2=sin^2θ
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