问题: 数学期望
对某一目标进行射击,直到击中为止,如果每次射击命中目标的概率都是p(0<p<1),则射击次数ξ的数学期望等于
解答:
P1=p
P2=(1-p)*p
P3=(1-p)^2*p
............
Pn=(1-p)^(n-1)*p
所以数学期望应该是
E=lim(P1+2P2+3P3+.+nPn)=limp[1+2(1-p)+3(1-p)^2+.+n(1-p)^(n-1)]
然后用错项像减:令A=1+2(1-p)+3(1-p)^2+.+n(1-p)^(n-1)
所以(1-p)A=(1-p)+2(1-p)^2+.+(n-1)(1-p)^(n-1)+n(1-p)^n
两式相减得pA=[1+(1-p)+(1-p)^2+.+(1-p)^(n-1)-n(1-p)^n
=[1-(1-p)^n]/p-n(1-p)^n
所以期望是limpA=1/p
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