在复习书上看到一题：
设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足
f（10+x）=f（10-x） f（20-x）=-f（20+x）
求f（x）
解：
∵f（x+10）=f（10-x）∴f（x）是以20为周期的函数
∴f（20-x）=f（-x）
-f（20+x）=-f（x）
∴f（-x）=-f（x）
是周期为20的奇函数。
不明白如下：
∵f（x+10）=f（10-x）
∴f（x+10）=f[20-（x+10）]
∴f（x）=f（20-x）
不能说“f（x）是以20为周期的函数”
书上说“f（x）是以20为周期的函数”为什么？
难道书上错了？？？

f（10+x）=f（10-x）…①, f（20-x）=-f（20+x）…②,
由①得f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x) ,即f(20-x)=f(x)…③.由②得, f(20+x)=-f(20-x)=-f(x),即f(x)=-f(20+x). ∴ 不能说f(x)是以20为周期的函数.
注意: ②式只能说明函数f(20-x)是奇函数.并不能说明函数f(x)是奇函数.∴ 解答中的f（-x）=-f(x)是错误的.
关于周期函数有下面几个不难证明的重要结论:
若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)对一切x∈R都成立,则
(1) y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2) 若f(x)是偶函数,则f(x)是以2|a|为周期的周期函数.
(3) 若f(x)是奇函数,则f(x)是以4|a|为周期的周期函数.
证明(3): ∵ f(a+x)=f(a-x),f(x)是奇函数, ∴ f(4a+x)=f[a+(3a+x)]=f[a-(3a+x)]=f[-(2a+x)]=-f(2a+x)=-f[a+(a+x)]=-f[a-(a+x)]=-f-x)=f(x), 即f(x)=f(x+4a), ∴ f(x)是以4|a|为周期的周期函数.