问题: 高一三角函数
已知[(cosA)^4/(cosB)^2]+[(sinA)^4/(sinB)^2]=1,
求证:[(cosB)^4/(cosA)^2]+[(sinB)^4/(sinA)^2]=1
解答:
证明：因为[(cosA)^4/(cosB)^2]+[(sinA)^4/(sinB)^2]=1，
所以，[(1+cos2A)/(2cosB)]^2+[(1-cos2A)/(2sinB)]^2=1.
所以,(sinB)^2*(1+cos2A)^2+(cosB)^2*(1-cos2A)^2=(2sinBcosB)^2,
所以，1+2cos2A[(sinB)^2-(cosB)^2]+(cos2A)^2=(sin2B)^2,
即1-2cos2Acos2B+(cos2A)^2=1-(cos2B)^2.
所以，(cos2A)^2-2cos2Acos2B+(cos2B)^2=0,
即(cos2A-cos2B)^2=0.
所以，cos2A-cos2B，即cos2A=cos2B.
所以，
[(cosB)^4/(cosA)^2]+[(sinB)^4/(sinA)^2]
=[(1+cos2B)/(2cosA)]^2+[(1-cos2B)/(2sinA]^2
=[(1+cos2A)/(2cosA)]^2+[(1-cos2A)/(2sinA]^2
=[2(cosA)^2/(2cosA)]^2+[2(sinA)^2/(2sinA]^2
=(cosA)^2+(sinA)^2
=1.
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