在1到9间插入2N-1个正数a1,a2,a3,.....a2n,a2n-1,使这2N+1个数成等比数列;又在1到9间插入2N-1个正数b1,b2,b3,.....b2n,b2n-1,使这2N+1个数成等差数列.
设An=a1*a2*a3*.....a2n*a2n-1,Bn=b1*b2*b3*.....b2n*b2n-1.
提问：是否存在自然数Ｍ使得Ｃn＝９Ａn　＋　４Ｂn＋　１７对任意自然数n都能被m整除？若存在，求m的最大值，并证明结论

成等比数列的2N-1个正数,中间的一个是3,另外有
a1*a(2n-1)=a2*a(2n-2)=....=a(n-1)a(n+1)
一共(n-1)组,乘积都等于1*9
An=9^(n-1)*3 =3^(2n-1)..................(1)
成等差数列的2N-1个正数,中间一个是5
Bn=b1+b2+b3+.....+b2n-1 =10n-5 .............(2)

Ｃn＝９Ａn　＋　４Ｂn＋　１７
代入(1),(2)
===>Cn =3^(2n+1)+40n-3
=3*9^n+40n-3
C1=64
C2=320 =64*5
猜想m=64,即Ｃn能被64整除
数学归纳法很容易证明之





补充证明Ｃn能被64整除

n=1,n=2成立已证明
假设n=k时 Ck=3*9^k+40k-3能被64整除
则n=k+1,
C(k+1)=3*9^(k+1)+40(k+1)-3
=27*9^k+40(k+1)-3
C(k+1)-Ck=24*9^k+40
只需证明24*9^k+40是64的倍数即可.......(3)

设Dk=24*9^k+40
当k=1 ,D1=24*9+4 =256 =64*4
假设k=m 时Dm=24*9^m+40是64的倍数
则,k=m+1
D(m+1)=24*9^(m+1)+40
D(m+1)-Dm =24*9^(m+1)-24*9^m
=24*8*9^m
=192*9^m
=64*3*9^m
所以,D(m+1)仍然是64的倍数

====>(3)成立

===>Ｃn能被64整除,m的最大值64