问题: 大题目哦~!
设数列｛an｝的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式: 3tSn-(2t+3)S(n-1)=3t (t＞0,n≥2)
1)求证数列｛an｝是等比数列
2)设数列｛an｝的公比为f(t),作数列｛bn｝,使b1=1, bn=f(1/b(n-1)) (n≥2).求数列｛bn｝的通项公式bn
解答:
(1) 3tSn-(2t+3)S(n-1)=3t (t＞0,n≥2)…①,
3tS（n-1）-(2t+3)S(n-2)=3t (t＞0,n≥2) …②，①-②得,
3t[Sn-S(n-1)](2t+3)[S(n-1)-S(n-2)], ∴ 3tAn=(2t+3)A(n-1),
∴ An/A(n-1)=(2t+3)/(3t)(n≥2,t>0), ∴ 数列{An}是等比数列.
(2) f(t)=(2t+3)/(3t)=(1/t)+(2/3), B1=1, Bn=f(1/B(n-1)) (n≥2).∴ Bn-B(n-1)=2/3, ∴ Bn=B1+(n-1)×(2/3)=(2n+1)/3,(n∈N*)
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