在2004*2004方格表的每个方格中，任意填上+1或-1，设各行的积为p1，p2，p3，p4，……p2004，各列的积为q1，q2，q3，q4，……q2004，证明S=p1+p2+p3+……+p2004+q1+q2+q3+……+q2004是4的倍数

第一步，假设这2004*2004方格表的每个方格都填+1，
则p1，p2，p3，p4，……p2004，q1，q2，q3，q4，……q2004都是+1，
S=2004+2004=4008，是4的倍数；
第二步，如果将其中某一格的+1改为-1，
则这一格所在的行和所在的列的积都由+1变成-1，
行积与列积的和将减少4，等于4008-4=4004，即S仍是4的倍数；
第三步，如果再将其中某一格的+1改为-1，
行积与列积的和S仍是4的倍数；
第四步，可得这样的结论：任意将表中一些格中的+1改为-1，
行积与列积的和S都是4的倍数；
最后，题设“在2004*2004方格表的每个方格中，任意填上+1或-1”，都可以看着是“先填上+1而后将其中一些格改为-1”的，因此S必为4的倍数。